2005-7
α, βは0でない相異なる複素数で、α/β+α –/β –=2を満たすとする。このとき、0, α, βの表す複素平面上の3点を結んで得られる三角形はどのような三角形か。(ただし、複素数zに対し、z –はzに共役な複素数である。また複素平面を複素数平面ともいう。)
2005-3
α, β, γは相異なる複素数で、α+β+γ=α²+β²+γ²=0 を満たすとする。このとき、α, β, γの表す副素平面上の3点を結んで得られる三角形はどのような三角形か。(ただし、複素平面を複素数平面ともいう。)
2005-b2
を満たす複素数をすべて求めよ。ただし、i は虚数単位、 は z に共役な複素数である。
2004-10
cを実数とする。xについての二次方程式x²+(3-2c)x+c²+5=0が2つの解α, βを持つとする。複素平面上の3点α, β, c²が三角形の3頂点になり、その三角形の重心は0であるという。cを求めよ。(注意：複素平面のことを複素数平面ともいう)
2004-5
複素数αに対してその共役複素数をα−であらわす。αを実数ではない複素数とする。複素平面内の円Cが1, -1, α を通るならば、Cは-1/α−も通ることを示せ。(注意：複素平面のことを複素数平面ともいう)
2002-6
0<θ<90とし、aは正の整数とする。複素数平面上の点z0, z1, z2, … をつぎの条件(i), (ii)を満たすように定める。 (i) z0=0, z1=a (ii) n≥1のとき、点zn-zn-1を原点のまわりにθ°回転すると、点zn+1-znに一致する。 このとき点zn(n≥1)が点z0と一致するようなnが存在するための必要十分条件は、θが有理数であることを示せ。
2001-7
未知数xに関する方程式x4-x³+x²-(a+2)x-a-3=0が、虚軸上の複素数を解に持つような実数aを全て求めよ。
2001-5
pを2以上の整数とする。2以上の整数nに対し、次の条件(イ)(ロ)をみたす複素数の組(z1, z2, … , zn)の個数をAnとする。 (イ) k=1, 2, … , n に対し、zkp=1かつzk≠1 (ロ) z1⋅z2⋅ … ⋅zn=1 このとき、次の問に答えよ。 (1) A3を求めよ。 (2) An+2を、An, An+1 の一方または両方を用いて表せ。 (3) An を求めよ。
2001-3
整数nに対しf(n)=½n(n-1)とおき、An=if(n)と定める。ただし、iは虚数単位を表す。このとき、An+k=Anが任意の整数nに対して成り立つような正の整数kをすべて求めよ。
2001-2
未知数xに対する方程式x5+x4-x³+x²-(a+1)x+a=0が、虚軸上の複素数を解に持つような実数aをすべて求めよ。