2008-2
正四面体ABCDを考える。点Pは時刻0では頂点Aに位置し、1秒ごとにある頂点から他の3頂点のいずれかに、等しい確率で動くとする。このとき、時刻0から時刻nまでの間に、4頂点A, B, C, Dのすべてに点Pが表れる確率を求めよ。ただしnは1以上の整数とする。
2007-11
次の各問にそれぞれ答えよ。 (1)A=[ -1 2 -1 4 ], E=[ 0 1 1 0 ] とするとき、A6+2A4+2A³+2A²+2A+3Eを求めよ。 (2)四角形ABCDを底面とする四角推OABCDを考える。点Pは時刻0では頂点Oにあり、1秒ごとに次の規則に従ってこの四角推の5つの頂点のいずれかに移動する。 規則：点Pのあった頂点と1つの辺によって結ばれる頂点の1つに、等しい確率で移動する。 このとき、n秒後に点Pが頂点Oにある確率を求めよ。
2007-7
次の各問にそれぞれ答えよ。 (1)A=[ -1 2 -1 4 ], E=[ 0 1 1 0 ] とするとき、A6+2A4+2A³+2A²+2A+3Eを求めよ。 (2)得点1, 2, …, n が等しい確率で得られるゲームを独立に3回くり返す。このとき、2回目の得点が1回目の得点以上であり、さらに3回目の得点が2回目の得点以上となる確率を求めよ。
2006-b3
さいころを n 個同時に投げるとき、出た目の数の和が n+3 になる確率を求めよ。
2005-b6
n 枚の 100 円玉と n+1 枚の 500 円玉を同時に投げたとき、表の出た 100 円玉の枚数より表の出た 500 円玉の枚数の方が多い確率を求めよ。
2005-9
1からnまでの番号のついたn枚の札が袋に入っている。ただしn≥3とし、同じ番号の札はないとする。この袋から3枚の札を取り出して、札の番号を大きさの順に並べるとき、等差数列になっている確率を求めよ。
2004-6
Nを自然数とする。N+1個の箱があり、1からN+1までの番号が付いている。どの箱にも玉が1個入っている。番号1からNまでの箱に入っている玉は白玉で、番号N+1の箱に入っている玉は赤玉である。次の操作(*)を、おのおのk=1, 2, … N+1に対して、kが小さい方から順番に1回ずつ行う。 (*)k以外の番号のN個の箱から1個の箱を選び、その箱の中身と番号kの箱の中身を交換する。(ただし、N個の箱から1個の箱を選ぶ事象は、どれも同様に確からしいとする。) 操作がすべて終了した後、赤玉が番号N+1の箱に入っている確率を求めよ。
2003-11
4チームがリーグ戦を行う。すなわち、各チームは他のすべてのチームとそれぞれ1回ずつ対戦する。引き分けはないものとし、勝つ確率はすべて½で、各回の勝敗は独立に決まるものとする。勝数の多い順に順位をつけ、勝数が同じであればそれらは同順位とする。1位のチーム数の期待値を求めよ。
2003-6
nチームがリーグ戦を行う。すなわち、各チームは他のすべてのチームとそれぞれ1回ずつ対戦する。引き分けはないものとし、勝つ確率はすべて½で、各回の勝敗は独立に決まるものとする。このとき、(n-2)勝1敗のチームがちょうど2チームである確率を求めよ。ただし、nは3以上とする。
2000-6
n, k は整数で、n≥2, 0≤k≤4 とする。サイコロをn回投げて出た目の和を５で割ったときのあまりがkに等しくなる確率をpn(k)とする。 (1) pn+1(0), …, pn+1(4) を pn(0), …, pn(4) を用いて表せ。 (2) pn(0), …, pn(4) の最大値をMn, 最小値を mn とするとき次の(イ)(ロ)が成立することを示せ。 (イ) mn≤1/5≤Mn (ロ) 任意のk, l (0≤k, l≤4) に対し pn+1(k)-pn+1(l) ≤(1/6)(Mn-mn) (3) pn(k) を求めよ。