2002-3
f(x)=x4+ax3+bx2+cx+1は整数を係数とするxの4次式とする。4次方程式f(x)=0の重複も込めた4解のうち、2つは整数で残りの2つは虚数であるという。このときa,b,cの値を求めよ。
2001-10
nを2以上の整数とする。実数a1, a2, …, anに対し、 S=a1+a2+…+an とおく。k=1, 2, …, n について、不等式 -1<S-ak<1 が成り立っているとする。 a1≤a2≤…≤an のとき、すべてのkについて |ak|<2 が成り立つことを示せ。
2001-9
任意の整数nに対し、n9-n3は9で割り切れることを示せ。
2001-3
整数nに対しf(n)=½n(n-1)とおき、An=if(n)と定める。ただし、iは虚数単位を表す。このとき、An+k=Anが任意の整数nに対して成り立つような正の整数kをすべて求めよ。
2000-4
pを素数、a, b を互いに素な正の整数とするとき、(a+bi)pは実数ではないことを示せ。ただしiは虚数単位を表す。
2000-9
三角形ABCにおいて辺BC、CA、ABの長さをそれぞれa, b, cとする。この三角形ABCは次の条件(イ)(ロ)(ハ)を満たすとする。 (イ) ともに2以上である自然数pとqが存在して、a=p+q, b=pq+p, c=pq+1 となる。 (ロ) 自然数nが存在してa, b, cのいずれかは2nである。 (ハ) ∠A, ∠B, ∠C のいずれかは60°である。 このとき次の問に答えよ。 (1) ∠A, ∠B, ∠C を大きさの順に並べよ。 (2) a, b, cを求めよ。