2007-14
nを1以上の整数とするとき、次の2つの命題はそれぞれ正しいか。正しいときは証明し、正しくないときはその理由を述べよ。 命題p：あるnに対して、√nと√n+1]は共に有理数である。 命題q：すべてのnに対して、√n+1]-√nは無理数である。
2007-3
pを3以上の素数とする。4個の整数a, b, c, dが次の3条件 a+b+c+d=0, ad-bc+p=0, a≥b≥c≥d を満たすとき、a, b, c, dをpを用いて表せ。
2006-9
n, k は自然数でk<nとする。穴のあいた2k個の白玉と2n-2k個の黒玉にひもを通して輪を作る。このとき適当な2箇所でひもを切ってn個ずつの2組に分け、どちらの組も白玉k個、黒玉n-k個からなるようにできることを示せ。
2006-4
2以上の自然数nに対し、nとn²+2がともに素数になるのはn=3の場合に限ることを示せ。
2006-b7
さいころを n 個同時に投げるとき、出た目の数の和が n+2 になる確率を求めよ。
2005-8
a³-b³=65を満たす整数の組(a, b)をすべて求めよ。
2005-4
a³-b³=217を満たす整数の組(a, b)をすべて求めよ。
2004-11
n, a, b を0以上の整数とする。a, b を未知数とする方程式 (*) a²+b²=2n を考える。 (1) n≥2とする。a, bが方程式(*)を満たすならば、a, bはともに偶数であることを証明せよ。(ただし、0は偶数に含める。) (2) 0以上の整数nに対して、方程式(*)を満たす0以上の整数の組(a, b)をすべて求めよ。
2003-10
pは3以上の素数であり、x, y は0≤x≤p, 0≤y≤pを満たす整数であるとする。このときx²を2pで割った余りとy²を2pで割った余りが等しければ、x=yであることを示せ。
2002-10
4個の整数1,a,b,cは1<a<b<cを満たしている。これらの中から相異なる2個を取り出して和を作ると、1+aからb+cまでのすべての整数の値が得られるという。a,b,cの値を求めよ。