2006-3
関数y=f(x)のグラフは、座標平面で原点に関して点対称である。さらにこのグラフのx≤0の部分は、軸がy軸に平行で、点(-½, ¼)を頂点とし、原点を通る放物線と一致している。このときx=-1におけるこの関数のグラフの接線とこの関数のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ。
2005-b5
を満たす最大の自然数 n を求めよ。ただし、0.434 < < 0.435 (e は自然対数の底)である。
2005-5
kを正の整数とし、2kπ≤x≤(2k+1)πの範囲で定義された2曲線C1:y=cosx, C2:y=(1-x²)/(1+x²)を考える。 (1) C1とC2は共有点を持つことを示し、その点におけるC1の接線は、点(0, 1)を通ることを示せ。 (2) C1とC2の共有点はただ1つであることを証明せよ。
2005-b1
曲線 y=x³ の x > 0の部分をCとする。C上の点P に対し、PにおけるCの接線とx軸の交点をQとし、PにおけるCの法線とy軸との交点をRとする。
2004-8
区間-1≤x≤1で定義された関数f(x)が、f(-1)=f(0)=1, f(1)=-2を満たし、またそのグラフが下図のようになっているという。このとき、 ≥ -1 を示せ。
2004-2
a>0とし、x>0で定義された関数f(x)={(e/xa)-1}logx/xを考える。y=f(x)のグラフより下側でx軸より上側の部分の面積をaで表せ。ただし、eは自然対数の底である。
2003-8
xy平面上で、放物線C:y=x²+xと、直線l:y=kx+k-1を考える。このとき次の問に答えよ。 (1) 放物線Cと直線lが相異なる2点で交わるようなkの範囲を求めよ。 (2) 放物線Cと直線lの2つの交点をP, Qとし、線分PQの長さをL、線分PQと放物線とで囲まれる部分の面積をSとする。kが(1)で定まる範囲を動くとき、S/L³の値のとりうる範囲を求めよ。
2003-2
f(x)=xsinx (x≥0)とする。点(π/2, π/2)におけるy=f(x)の法線と、y=f(x)のグラフの0≤x≤π/2の部分、およびy軸とで囲まれる図形を考える。この図形をx軸の回りに回転して得られる回転体の体積を求めよ。
2002-9
0≤θ<360とし、aは定数とする。cos3θ°-cos2θ°+3cosθ°-1=aを満たすθの値はいくつあるか。aの値によって分類せよ。
2002-5
a,b,cを実数とする。y=x³+3ax²+3bxとy=cのグラフが相異なる3つの交点を持つという。このとき、a²≥bが成立することを示し、さらにこれらの交点のx座標のすべては開区間(-a-2√a²-b],-a+2√a²-b])に含まれていることを示せ。