2008-11
0≤x<2πのとき、方程式2√2(sin³x+cos³x)+3sinxcosx=0を満たすxの個数を求めよ。
2008-10
実数a, b, cに対してf(x)=ax²+bx+cとする。このとき、∫-11 (1-x²){f’(x)}²dx≤6∫-11 {f(x)}²dxであることを示せ。
2008-5
次の式で与えられる底面の半径が2、高さが1の円柱Cを考える。C={(x, y, z)|x²+y²≤4, 0≤z≤1} xy平面上の直線y=1を含み、xy平面と45°の角をなす平面のうち、点(0, 2, 1)を通るものをHとする。円柱Cを平面Hで2つに分けるとき、点(0, 2, 0)を含む方の体積を求めよ。
2008-1
直線y=px+qが関数y=logxのグラフと共有点を持たないためにpとqが満たすべき必要十分条件を求めよ。
2007-12
3次関数y=x³-2x²-x+2のグラフ上の点(1, 0)における接線をlとする。この3次関数のグラフと接線lで囲まれた部分をx軸の周りに回転して立体を作る。その立体の体積を求めよ。
2007-10
y=xe1-xとy=xのグラフで囲まれた部分をx軸の周りに回転してできる立体の体積を求めよ。
2007-6
すべての実数で定義され何回でも微分できる関数f(x)がf(0)=0, f’(0)=1を満たし、さらに任意の実数a, b に対して 1+f(a)f(b)≠0であって f(a+b)={f(a)+f(b)}/{1+f(a)f(b)} を満たしている。 (1)任意の実数aに対して、-1<f(a)<1であることを証明せよ。 (2)y=f(x)のグラフはx>0で上に凸であることを証明せよ。
2007-2
x, y を相異なる正の実数とする。数列{an}をa1=0, an+1=xan+yn+1 (n=1, 2, 3, …)によって定めるとき、limn→∞ anが有限の値に収束するような座標平面上の点(x, y)の範囲を図示せよ。
2007-1
以下の各問にそれぞれ答えよ。 (1)定積分∫02 (2x+1)/(√x²+4]) dx を求めよ。 (2)1歩で1段または2段のいずれかで階段を昇るとき、1歩で2段昇ることは連続しないものとする。15段の階段を昇る昇り方は何通りあるか。
2006-6
0<α<½πとして、関数FをF(θ)∫0θ xcos(x+α)で定める。θが[0, ½π]の範囲を動くとき、Fの最大値を求めよ。