2005-3
α, β, γは相異なる複素数で、α+β+γ=α²+β²+γ²=0 を満たすとする。このとき、α, β, γの表す副素平面上の3点を結んで得られる三角形はどのような三角形か。(ただし、複素平面を複素数平面ともいう。)
2003-9
四面体OABCは次の2つの条件 (i)⊥, ⊥, ⊥ (ii)4つの面の面積がすべて等しい をみたしている。このとき、この四面体は正四面体であることを示せ。
2003-3
四面体OABCは次の2つの条件 (i)OA⊥BC, OB⊥AC, OC⊥AB (ii)4つの面の面積がすべて等しい をみたしている。このとき、この四面体は正四面体であることを示せ。
2002-8
四角形ABCDを底面とする四角錐OABCDは、+=+を満たしており、0と異なる4つの実数p, q, r, sにたいして4点P, Q, R, Sを =p, =q, =r, =s によって定める。 このとき、P, Q, R, Sが同一平面上にあれば、1/p+1/r=1/q+1/sが成立することを示せ。
2002-2
半径1の円周上に相異なる3点A,B,Cがある。 (1)AB²+BC²+CA²>8ならばΔABCは鋭角三角形であることを示せ。 (2)AB²+BC²+CA²≤9が成立することを示せ。また、この等号が成立するのはどのような場合か。
2001-11
xy平面内の-1≤y≤1で定められる領域Dと、中心がPで原点Oを通る円Cを考える。CがDに含まれるという条件のもとで、Pが動きうる範囲を図示し、その面積を求めよ。
2000-3
= (1, 0, 0), = (cos(π/3), sin(π/3), 0) とする。 (1) 長さ1の空間ベクトル に対し、cosα=⋅, cosβ=⋅ とおく。このとき次の不等式(*)が成り立つことを示せ。 (*) cos²α-cosαcosβ+cos²β ≤ ¾ (2) 不等式(*)を満たす(α, β) (0≤α≤π,0≤β≤π) の範囲を図示せよ。
2000-9
三角形ABCにおいて辺BC、CA、ABの長さをそれぞれa, b, cとする。この三角形ABCは次の条件(イ)(ロ)(ハ)を満たすとする。 (イ) ともに2以上である自然数pとqが存在して、a=p+q, b=pq+p, c=pq+1 となる。 (ロ) 自然数nが存在してa, b, cのいずれかは2nである。 (ハ) ∠A, ∠B, ∠C のいずれかは60°である。 このとき次の問に答えよ。 (1) ∠A, ∠B, ∠C を大きさの順に並べよ。 (2) a, b, cを求めよ。