2008-9
空間内に原点Oを中心とし半径1の球面Sを考え、S上の2点をA(½, 0, ½√3), B(¼, ¼√3, ½√3)とする。z=½√3で与えられる平面でSを切った切り口の円において、AとBを結ぶ弧のうち短いほうの長さをl1とする。また3点O, A, Bを通る平面でSを切った切り口の円において、AとBを結ぶ弧のうち短いほうの長さをl2とする。このとき l1>l2 を証明せよ。
2008-7
AB=ACである二等辺三角形ABCを考える。辺ABの中点をMとし、辺ABを延長した直線上に点Nを、AN:NB=2:1となるようにとる。ただし点Nは辺AB上にないものとする。ことのき、∠BCM=∠BCNとなることを示せ。
2008-6
地球上の北緯60°東経135°の地点をA、北緯60°東経75°の地点をBとする。AからBに向かう2種類の飛行経路R1, R2を考える。R1は西に向かって同一緯度で飛ぶ経路とする。R2は地球の大円に沿った経路のうち飛行距離の短い方とする。R1に比べてR2は飛行距離が3％以上短くなることを示せ。ただし地球は完全な球体であるとし、飛行機は高度0を飛ぶものとする。また必要があれば、次のページの三角関数表を用いよ。 注：大円とは、球を球の中心を通る平面で切ったとき、その切り口にできる円のことである。
2007-8
∆ABCにおいて、∠Aの二等分線とこの三角形の外接円との交点でAと異なる点をA’とする。同様に∠B, ∠Cの二等分線とこの外接円との交点をそれぞれB’, C’ とする。このとき3直線AA’, BB’, CC’は一点Hで交わり、この点Hは三角形A’B’C’の垂心と一致することを証明せよ。
2007-4
点Oを中心とする円に内接する∆ABCの3辺AB, BC, CAをそれぞれ2:3に内分する点をP, Q, Rとする。∆PQRの外心が点Oと一致するとき、∆ABCはどのような三角形か。
2006-5
∆ABCに対し、辺AB上に点Pを、辺BC上に点Qを辺CA上に点Rを、頂点とは異なるようにとる。この3点がそれぞれの辺上を動くとき、この3点を頂点とする三角形の重心はどのような範囲を動くか図示せよ。
2006-b9
n を自然数とし、xy 平面の次の領域 Dn{ (x,y) | ≤ y≤ [x+1] -x, x≥0 } を考える。ただし、記号 [x] は x より大きくない最大の整数を表すものとする。このときDn の面積を求めよ。
2006-b8
∆ABC の内心を P とする。 が成り立っているとき、この三角形は正三角形であることを示せ。
2006-b4
平面上の点Oを中心とし、半径1の円周上に相異なる3点A, B, Cがある。∆ABCの内接円の半径rは½ 以下であることを示せ。
2005-b4
四面体 OABC において、三角形 ABC の重心を G とし、線分 OG を t:1-t (0<t<1) に内分する点を P とする。また、直線 AP と面 OBC との交点を A’ 直前 BP と 面 OCA との交点を B’ 直線 CP と面 OAB との交点を C’ とする。このとき、三角形 A’B’C’ は三角形 ABC と相似であることを示し、相似比を t で 表せ。