2008-3
空間の1点Oを通る4直線で、どの3直線も同一平面上にないようなものを考える。このとき、4直線のいずれともO以外の点で交わる平面で、4つの交点が平行四辺形の頂点になるようなものが存在することを示せ。
2007-13
座標空間で点(3, 4, 0)を通りベクトルa→=(1, 1, 1)に平行な直線をl、点(2, -1, 0)を通りベクトルb→=(1, -2, 0)に平行な直線をmとする。点Pは直線l上を、点Qは直線m上をそれぞれ勝手に動くとき、線分PQの長さの最小値を求めよ。
2007-4
点Oを中心とする円に内接する∆ABCの3辺AB, BC, CAをそれぞれ2:3に内分する点をP, Q, Rとする。∆PQRの外心が点Oと一致するとき、∆ABCはどのような三角形か。
2006-5
∆ABCに対し、辺AB上に点Pを、辺BC上に点Qを辺CA上に点Rを、頂点とは異なるようにとる。この3点がそれぞれの辺上を動くとき、この3点を頂点とする三角形の重心はどのような範囲を動くか図示せよ。
2006-b8
∆ABC の内心を P とする。 が成り立っているとき、この三角形は正三角形であることを示せ。
2005-b4
四面体 OABC において、三角形 ABC の重心を G とし、線分 OG を t:1-t (0<t<1) に内分する点を P とする。また、直線 AP と面 OBC との交点を A’ 直前 BP と 面 OCA との交点を B’ 直線 CP と面 OAB との交点を C’ とする。このとき、三角形 A’B’C’ は三角形 ABC と相似であることを示し、相似比を t で 表せ。
2004-9
∆OABにおいて、 =、 = とする。 ||=3, ||=5, cos(∠AOB)=3/5 とする。このとき、∠AOBの2等分線と、Bを中心とする半径√10の円との交点の、Oを原点とする位置ベクトルを、 、 を用いてあらわせ。
2003-9
四面体OABCは次の2つの条件 (i)⊥, ⊥, ⊥ (ii)4つの面の面積がすべて等しい をみたしている。このとき、この四面体は正四面体であることを示せ。
2003-3
四面体OABCは次の2つの条件 (i)OA⊥BC, OB⊥AC, OC⊥AB (ii)4つの面の面積がすべて等しい をみたしている。このとき、この四面体は正四面体であることを示せ。
2002-8
四角形ABCDを底面とする四角錐OABCDは、+=+を満たしており、0と異なる4つの実数p, q, r, sにたいして4点P, Q, R, Sを =p, =q, =r, =s によって定める。 このとき、P, Q, R, Sが同一平面上にあれば、1/p+1/r=1/q+1/sが成立することを示せ。