2007-9
-π/2<α<π/2とする。座標平面上で原点の周りにπ/3回転する一次変換をfとし、直線y=(tanα)xについて対称移動する一次変換をgとする。合成変換f o gがx軸について対称移動する一次変換と一致するとき、αの値を求めよ。
2007-8
∆ABCにおいて、∠Aの二等分線とこの三角形の外接円との交点でAと異なる点をA’とする。同様に∠B, ∠Cの二等分線とこの外接円との交点をそれぞれB’, C’ とする。このとき3直線AA’, BB’, CC’は一点Hで交わり、この点Hは三角形A’B’C’の垂心と一致することを証明せよ。
2007-7
次の各問にそれぞれ答えよ。 (1)A=[ -1 2 -1 4 ], E=[ 0 1 1 0 ] とするとき、A6+2A4+2A³+2A²+2A+3Eを求めよ。 (2)得点1, 2, …, n が等しい確率で得られるゲームを独立に3回くり返す。このとき、2回目の得点が1回目の得点以上であり、さらに3回目の得点が2回目の得点以上となる確率を求めよ。
2007-6
すべての実数で定義され何回でも微分できる関数f(x)がf(0)=0, f’(0)=1を満たし、さらに任意の実数a, b に対して 1+f(a)f(b)≠0であって f(a+b)={f(a)+f(b)}/{1+f(a)f(b)} を満たしている。 (1)任意の実数aに対して、-1<f(a)<1であることを証明せよ。 (2)y=f(x)のグラフはx>0で上に凸であることを証明せよ。
2007-5
Aを2次の正方行列とする。列ベクトルx0→に対し、列ベクトルx1→, x2→, … をxn+1→=Axn→ (n=0, 1, 2, … )によって定める。ある零ベクトルでないx0→について、3以上の自然数mで初めてxm→がx0→と一致するとき、行列Amは単位行列であることを示せ。
2007-4
点Oを中心とする円に内接する∆ABCの3辺AB, BC, CAをそれぞれ2:3に内分する点をP, Q, Rとする。∆PQRの外心が点Oと一致するとき、∆ABCはどのような三角形か。
2007-3
pを3以上の素数とする。4個の整数a, b, c, dが次の3条件 a+b+c+d=0, ad-bc+p=0, a≥b≥c≥d を満たすとき、a, b, c, dをpを用いて表せ。
2007-2
x, y を相異なる正の実数とする。数列{an}をa1=0, an+1=xan+yn+1 (n=1, 2, 3, …)によって定めるとき、limn→∞ anが有限の値に収束するような座標平面上の点(x, y)の範囲を図示せよ。
2007-1
以下の各問にそれぞれ答えよ。 (1)定積分∫02 (2x+1)/(√x²+4]) dx を求めよ。 (2)1歩で1段または2段のいずれかで階段を昇るとき、1歩で2段昇ることは連続しないものとする。15段の階段を昇る昇り方は何通りあるか。
2006-6
0<α<½πとして、関数FをF(θ)∫0θ xcos(x+α)で定める。θが[0, ½π]の範囲を動くとき、Fの最大値を求めよ。