2008-9
空間内に原点Oを中心とし半径1の球面Sを考え、S上の2点をA(½, 0, ½√3), B(¼, ¼√3, ½√3)とする。z=½√3で与えられる平面でSを切った切り口の円において、AとBを結ぶ弧のうち短いほうの長さをl1とする。また3点O, A, Bを通る平面でSを切った切り口の円において、AとBを結ぶ弧のうち短いほうの長さをl2とする。このとき l1>l2 を証明せよ。
2008-8
定数aは実数であるとする。方程式(x²+ax+1)(3x²+ax-3)=0 を満たす実数xはいくつあるか。aの値によって分類せよ。
2008-7
AB=ACである二等辺三角形ABCを考える。辺ABの中点をMとし、辺ABを延長した直線上に点Nを、AN:NB=2:1となるようにとる。ただし点Nは辺AB上にないものとする。ことのき、∠BCM=∠BCNとなることを示せ。
2008-5
次の式で与えられる底面の半径が2、高さが1の円柱Cを考える。C={(x, y, z)|x²+y²≤4, 0≤z≤1} xy平面上の直線y=1を含み、xy平面と45°の角をなす平面のうち、点(0, 2, 1)を通るものをHとする。円柱Cを平面Hで2つに分けるとき、点(0, 2, 0)を含む方の体積を求めよ。
2008-2
正四面体ABCDを考える。点Pは時刻0では頂点Aに位置し、1秒ごとにある頂点から他の3頂点のいずれかに、等しい確率で動くとする。このとき、時刻0から時刻nまでの間に、4頂点A, B, C, Dのすべてに点Pが表れる確率を求めよ。ただしnは1以上の整数とする。
2008-1
直線y=px+qが関数y=logxのグラフと共有点を持たないためにpとqが満たすべき必要十分条件を求めよ。