2007-6
すべての実数で定義され何回でも微分できる関数f(x)がf(0)=0, f’(0)=1を満たし、さらに任意の実数a, b に対して 1+f(a)f(b)≠0であって f(a+b)={f(a)+f(b)}/{1+f(a)f(b)} を満たしている。 (1)任意の実数aに対して、-1<f(a)<1であることを証明せよ。 (2)y=f(x)のグラフはx>0で上に凸であることを証明せよ。
2007-5
Aを2次の正方行列とする。列ベクトルx0→に対し、列ベクトルx1→, x2→, … をxn+1→=Axn→ (n=0, 1, 2, … )によって定める。ある零ベクトルでないx0→について、3以上の自然数mで初めてxm→がx0→と一致するとき、行列Amは単位行列であることを示せ。
2007-4
点Oを中心とする円に内接する∆ABCの3辺AB, BC, CAをそれぞれ2:3に内分する点をP, Q, Rとする。∆PQRの外心が点Oと一致するとき、∆ABCはどのような三角形か。
2007-3
pを3以上の素数とする。4個の整数a, b, c, dが次の3条件 a+b+c+d=0, ad-bc+p=0, a≥b≥c≥d を満たすとき、a, b, c, dをpを用いて表せ。
2007-2
x, y を相異なる正の実数とする。数列{an}をa1=0, an+1=xan+yn+1 (n=1, 2, 3, …)によって定めるとき、limn→∞ anが有限の値に収束するような座標平面上の点(x, y)の範囲を図示せよ。
2007-1
以下の各問にそれぞれ答えよ。 (1)定積分∫02 (2x+1)/(√x²+4]) dx を求めよ。 (2)1歩で1段または2段のいずれかで階段を昇るとき、1歩で2段昇ることは連続しないものとする。15段の階段を昇る昇り方は何通りあるか。