2005-6
先頭車両から順に1からnまでの番号のついたn両編成の列車がある。ただしn≥2とする。各車両を赤色、青色、黄色のいずれか一色で塗るとき、隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何通りか。
2005-5
kを正の整数とし、2kπ≤x≤(2k+1)πの範囲で定義された2曲線C1:y=cosx, C2:y=(1-x²)/(1+x²)を考える。 (1) C1とC2は共有点を持つことを示し、その点におけるC1の接線は、点(0, 1)を通ることを示せ。 (2) C1とC2の共有点はただ1つであることを証明せよ。
2005-4
a³-b³=217を満たす整数の組(a, b)をすべて求めよ。
2005-3
α, β, γは相異なる複素数で、α+β+γ=α²+β²+γ²=0 を満たすとする。このとき、α, β, γの表す副素平面上の3点を結んで得られる三角形はどのような三角形か。(ただし、複素平面を複素数平面ともいう。)
2005-2
210<(5/4)n<220を満たす自然数nは何個あるか。ただし、0.301<log102<0.3011である。
2005-1
xy平面上の原点と点(1, 2)を結ぶ線分(両端を含む)をLとする。曲線y=x²+ax+bがLと共有点を持つような実数の組(a, b)の集合をab平面上に図示せよ。