2004-6
Nを自然数とする。N+1個の箱があり、1からN+1までの番号が付いている。どの箱にも玉が1個入っている。番号1からNまでの箱に入っている玉は白玉で、番号N+1の箱に入っている玉は赤玉である。次の操作(*)を、おのおのk=1, 2, … N+1に対して、kが小さい方から順番に1回ずつ行う。 (*)k以外の番号のN個の箱から1個の箱を選び、その箱の中身と番号kの箱の中身を交換する。(ただし、N個の箱から1個の箱を選ぶ事象は、どれも同様に確からしいとする。) 操作がすべて終了した後、赤玉が番号N+1の箱に入っている確率を求めよ。
2004-5
複素数αに対してその共役複素数をα−であらわす。αを実数ではない複素数とする。複素平面内の円Cが1, -1, α を通るならば、Cは-1/α−も通ることを示せ。(注意：複素平面のことを複素数平面ともいう)
2004-4
行列A, B をA=[ 1 2 -1 0 ], B=[ 0 α β 0 ] とする。次の(*)が成り立つための実数α, βについての必要十分条件を求めよ。 (*) どんな2次正方行列Yに対しても、2次正方行列XでAX-XB=Yとなるものがある。
2004-3
nを2以上の自然数とする。x2nをx²-x+(n-1)/n²で割った余りをAnx+Bnとする。すなわち、xの多項式Pn(x) があって x2n=Pn(x)(x²-x+(n-1)/n²)+Anx+Bn が成り立っているとする。limn→∞An, limn→∞Bn を求めよ。
2004-2
a>0とし、x>0で定義された関数f(x)={(e/xa)-1}logx/xを考える。y=f(x)のグラフより下側でx軸より上側の部分の面積をaで表せ。ただし、eは自然対数の底である。
2004-1
f(θ)=cos4θ-4sin²θとする。0≤θ≤¾πにおけるf(θ)の最大値および最小値を求めよ。