2003-6
nチームがリーグ戦を行う。すなわち、各チームは他のすべてのチームとそれぞれ1回ずつ対戦する。引き分けはないものとし、勝つ確率はすべて½で、各回の勝敗は独立に決まるものとする。このとき、(n-2)勝1敗のチームがちょうど2チームである確率を求めよ。ただし、nは3以上とする。
2003-5
a, b, c, dを実数とする。二次の正方行列A=( c a d b )と二次の単位行列Eに対して、集合L(A)を L(A)={rE+sA | r, s は実数} とする。このとき次の条件(*)が成立するための、a, b, c, dについての必要十分条件を求めよ。 (*) L(A)の要素Bは零行列でなければ逆行列を持つ。
2003-4
多項式(x100+1)100+(x²+1)100+1は多項式x²+x+1で割り切れるか。
2003-3
四面体OABCは次の2つの条件 (i)OA⊥BC, OB⊥AC, OC⊥AB (ii)4つの面の面積がすべて等しい をみたしている。このとき、この四面体は正四面体であることを示せ。
2003-2
f(x)=xsinx (x≥0)とする。点(π/2, π/2)におけるy=f(x)の法線と、y=f(x)のグラフの0≤x≤π/2の部分、およびy軸とで囲まれる図形を考える。この図形をx軸の回りに回転して得られる回転体の体積を求めよ。
2003-1
正の数からなる数列{An}が次の条件(i)(ii)をみたすとき、Akを求めよ。 (i)A1=1 (ii)logAn-logAn-1=log(n-1)-log(n+1) (n≥2)