2002-6
0<θ<90とし、aは正の整数とする。複素数平面上の点z0, z1, z2, … をつぎの条件(i), (ii)を満たすように定める。 (i) z0=0, z1=a (ii) n≥1のとき、点zn-zn-1を原点のまわりにθ°回転すると、点zn+1-znに一致する。 このとき点zn(n≥1)が点z0と一致するようなnが存在するための必要十分条件は、θが有理数であることを示せ。
2002-5
a,b,cを実数とする。y=x³+3ax²+3bxとy=cのグラフが相異なる3つの交点を持つという。このとき、a²≥bが成立することを示し、さらにこれらの交点のx座標のすべては開区間(-a-2√a²-b],-a+2√a²-b])に含まれていることを示せ。
2002-4
a)x≥0で定義された関数f(x)=log(x+√1+x²])について、導関数f’(x)を求めよ。 (2)極方程式r=θ(θ≥0)で定義される曲線の、0≤θ≤πの部分の長さを求めよ。
2002-3
f(x)=x4+ax3+bx2+cx+1は整数を係数とするxの4次式とする。4次方程式f(x)=0の重複も込めた4解のうち、2つは整数で残りの2つは虚数であるという。このときa,b,cの値を求めよ。
2002-2
半径1の円周上に相異なる3点A,B,Cがある。 (1)AB²+BC²+CA²>8ならばΔABCは鋭角三角形であることを示せ。 (2)AB²+BC²+CA²≤9が成立することを示せ。また、この等号が成立するのはどのような場合か。
2002-1
数列{An}の初項A1から第n項までの和をSnと表す。 この数列がA1=1、limn→∞Sn=1、n(n-2)An+1=Sn(n≧1)を満たすとき、一般項Anを求めよ。