2000-4
pを素数、a, b を互いに素な正の整数とするとき、(a+bi)pは実数ではないことを示せ。ただしiは虚数単位を表す。
2000-3
= (1, 0, 0), = (cos(π/3), sin(π/3), 0) とする。 (1) 長さ1の空間ベクトル に対し、cosα=⋅, cosβ=⋅ とおく。このとき次の不等式(*)が成り立つことを示せ。 (*) cos²α-cosαcosβ+cos²β ≤ ¾ (2) 不等式(*)を満たす(α, β) (0≤α≤π,0≤β≤π) の範囲を図示せよ。
2000-2
実数aは0<a≤2の範囲を動くものとする。 (1) y=√x とy=(2/a)x+1-1/aのグラフが共有点を持つようなaの範囲を求めよ。 (2) 二次方程式(2x+a-1)²=a²xの複素数の範囲で考えた2つの解をα, β(ただし|α| ≤ |β|)とする。このとき、|β| の最小値を求めよ。
2000-1
円に内接する四角形ABPCは次の条件(イ), (ロ)を満たすとする。 (イ) 三角形ABCは正三角形である。 (ロ) APとBCの交点は線分BCを p:1-p (0<p<1) の比に内分する。 このときベクトルを, , pを用いて表せ。
2000-6
n, k は整数で、n≥2, 0≤k≤4 とする。サイコロをn回投げて出た目の和を５で割ったときのあまりがkに等しくなる確率をpn(k)とする。 (1) pn+1(0), …, pn+1(4) を pn(0), …, pn(4) を用いて表せ。 (2) pn(0), …, pn(4) の最大値をMn, 最小値を mn とするとき次の(イ)(ロ)が成立することを示せ。 (イ) mn≤1/5≤Mn (ロ) 任意のk, l (0≤k, l≤4) に対し pn+1(k)-pn+1(l) ≤(1/6)(Mn-mn) (3) pn(k) を求めよ。
2000-5
数列{cn}を次の式で定める。 (n=1, 2, … ) このとき (1) cn と cn+2の関係を求めよ。 (2) を求めよ。 (3) (2)で求めた極限値をcとするとき、 を求めよ。 (解答は準備中)