2007-14
nを1以上の整数とするとき、次の2つの命題はそれぞれ正しいか。正しいときは証明し、正しくないときはその理由を述べよ。 命題p：あるnに対して、√nと√n+1]は共に有理数である。 命題q：すべてのnに対して、√n+1]-√nは無理数である。
2007-13
座標空間で点(3, 4, 0)を通りベクトルa→=(1, 1, 1)に平行な直線をl、点(2, -1, 0)を通りベクトルb→=(1, -2, 0)に平行な直線をmとする。点Pは直線l上を、点Qは直線m上をそれぞれ勝手に動くとき、線分PQの長さの最小値を求めよ。
2007-12
3次関数y=x³-2x²-x+2のグラフ上の点(1, 0)における接線をlとする。この3次関数のグラフと接線lで囲まれた部分をx軸の周りに回転して立体を作る。その立体の体積を求めよ。
2007-11
次の各問にそれぞれ答えよ。 (1)A=[ -1 2 -1 4 ], E=[ 0 1 1 0 ] とするとき、A6+2A4+2A³+2A²+2A+3Eを求めよ。 (2)四角形ABCDを底面とする四角推OABCDを考える。点Pは時刻0では頂点Oにあり、1秒ごとに次の規則に従ってこの四角推の5つの頂点のいずれかに移動する。 規則：点Pのあった頂点と1つの辺によって結ばれる頂点の1つに、等しい確率で移動する。 このとき、n秒後に点Pが頂点Oにある確率を求めよ。
2007-3
pを3以上の素数とする。4個の整数a, b, c, dが次の3条件 a+b+c+d=0, ad-bc+p=0, a≥b≥c≥d を満たすとき、a, b, c, dをpを用いて表せ。