2004-11
n, a, b を0以上の整数とする。a, b を未知数とする方程式 (*) a²+b²=2n を考える。 (1) n≥2とする。a, bが方程式(*)を満たすならば、a, bはともに偶数であることを証明せよ。(ただし、0は偶数に含める。) (2) 0以上の整数nに対して、方程式(*)を満たす0以上の整数の組(a, b)をすべて求めよ。
2004-10
cを実数とする。xについての二次方程式x²+(3-2c)x+c²+5=0が2つの解α, βを持つとする。複素平面上の3点α, β, c²が三角形の3頂点になり、その三角形の重心は0であるという。cを求めよ。(注意：複素平面のことを複素数平面ともいう)
2004-9
∆OABにおいて、 =、 = とする。 ||=3, ||=5, cos(∠AOB)=3/5 とする。このとき、∠AOBの2等分線と、Bを中心とする半径√10の円との交点の、Oを原点とする位置ベクトルを、 、 を用いてあらわせ。
2004-8
区間-1≤x≤1で定義された関数f(x)が、f(-1)=f(0)=1, f(1)=-2を満たし、またそのグラフが下図のようになっているという。このとき、 ≥ -1 を示せ。
2004-7
f(θ)=cos4θ-4sin²θとする。0°≤θ≤90°におけるf(θ)の最大値および最小値を求めよ。