2003-11
4チームがリーグ戦を行う。すなわち、各チームは他のすべてのチームとそれぞれ1回ずつ対戦する。引き分けはないものとし、勝つ確率はすべて½で、各回の勝敗は独立に決まるものとする。勝数の多い順に順位をつけ、勝数が同じであればそれらは同順位とする。1位のチーム数の期待値を求めよ。
2003-10
pは3以上の素数であり、x, y は0≤x≤p, 0≤y≤pを満たす整数であるとする。このときx²を2pで割った余りとy²を2pで割った余りが等しければ、x=yであることを示せ。
2003-9
四面体OABCは次の2つの条件 (i)⊥, ⊥, ⊥ (ii)4つの面の面積がすべて等しい をみたしている。このとき、この四面体は正四面体であることを示せ。
2003-8
xy平面上で、放物線C:y=x²+xと、直線l:y=kx+k-1を考える。このとき次の問に答えよ。 (1) 放物線Cと直線lが相異なる2点で交わるようなkの範囲を求めよ。 (2) 放物線Cと直線lの2つの交点をP, Qとし、線分PQの長さをL、線分PQと放物線とで囲まれる部分の面積をSとする。kが(1)で定まる範囲を動くとき、S/L³の値のとりうる範囲を求めよ。
2003-7
23/111を0.a1a2a3a4 … のように小数で表す。すなわち小数第k位の数をakとする。このとき、を求めよ。