2000-1
円に内接する四角形ABPCは次の条件(イ), (ロ)を満たすとする。 (イ) 三角形ABCは正三角形である。 (ロ) APとBCの交点は線分BCを p:1-p (0<p<1) の比に内分する。 このときベクトルを, , pを用いて表せ。
2000-10
aを実数とする。xの2次方程式x²-ax=2 は 0≤ x ≤ 1 の範囲にいくつの解をもつか。
2000-9
三角形ABCにおいて辺BC、CA、ABの長さをそれぞれa, b, cとする。この三角形ABCは次の条件(イ)(ロ)(ハ)を満たすとする。 (イ) ともに2以上である自然数pとqが存在して、a=p+q, b=pq+p, c=pq+1 となる。 (ロ) 自然数nが存在してa, b, cのいずれかは2nである。 (ハ) ∠A, ∠B, ∠C のいずれかは60°である。 このとき次の問に答えよ。 (1) ∠A, ∠B, ∠C を大きさの順に並べよ。 (2) a, b, cを求めよ。
2000-8
= (1, 0, 0), = (cos60°, sin60°, 0) とする。 (1) 長さ1の空間ベクトル に対し、cosα=⋅, cosβ=⋅ とおく。このとき次の不等式(*)が成り立つことを示せ。 (*) cos²α-cosαcosβ+cos²β ≤ ¾ (2) 不等式(*)を満たす(α, β) (0≤α≤180°,0≤β≤180°) の範囲を図示せよ。
2000-7
実数 x1, x2, … xn (n ≥ 3) が条件 xk-1 -2 xk + xk+1 > 0 (2 ≤ k ≤ n-1) を満たすとし、x1, x2, … xn の最小値をmとする。このとき、xl = m となる l (1 ≤ l ≤ n) の個数は1または2となることを示せ。