2008-12
正n角形とその外接円をあわせた図形をFとする。F上の点Pに対して、始点と終点がともにPであるような、図形Fの一筆がきの経路の数をN(P)で表す。正n角形の頂点をひとつとってAとし、a=N(A)とおく。また正n角形の辺をひとつとってその中点をBとし、b=N(B)とおく。このときaとbを求めよ。 注：一筆がきとは、図形を、かき始めから終わりまで、筆を紙からはなさず、また同じ線上を通らずにかくことである。
2008-11
0≤x<2πのとき、方程式2√2(sin³x+cos³x)+3sinxcosx=0を満たすxの個数を求めよ。
2008-10
実数a, b, cに対してf(x)=ax²+bx+cとする。このとき、∫-11 (1-x²){f’(x)}²dx≤6∫-11 {f(x)}²dxであることを示せ。
2008-8
定数aは実数であるとする。方程式(x²+ax+1)(3x²+ax-3)=0 を満たす実数xはいくつあるか。aの値によって分類せよ。
2008-7
AB=ACである二等辺三角形ABCを考える。辺ABの中点をMとし、辺ABを延長した直線上に点Nを、AN:NB=2:1となるようにとる。ただし点Nは辺AB上にないものとする。ことのき、∠BCM=∠BCNとなることを示せ。
2007-14
nを1以上の整数とするとき、次の2つの命題はそれぞれ正しいか。正しいときは証明し、正しくないときはその理由を述べよ。 命題p：あるnに対して、√nと√n+1]は共に有理数である。 命題q：すべてのnに対して、√n+1]-√nは無理数である。
2007-13
座標空間で点(3, 4, 0)を通りベクトルa→=(1, 1, 1)に平行な直線をl、点(2, -1, 0)を通りベクトルb→=(1, -2, 0)に平行な直線をmとする。点Pは直線l上を、点Qは直線m上をそれぞれ勝手に動くとき、線分PQの長さの最小値を求めよ。
2007-12
3次関数y=x³-2x²-x+2のグラフ上の点(1, 0)における接線をlとする。この3次関数のグラフと接線lで囲まれた部分をx軸の周りに回転して立体を作る。その立体の体積を求めよ。
2007-11
次の各問にそれぞれ答えよ。 (1)A=[ -1 2 -1 4 ], E=[ 0 1 1 0 ] とするとき、A6+2A4+2A³+2A²+2A+3Eを求めよ。 (2)四角形ABCDを底面とする四角推OABCDを考える。点Pは時刻0では頂点Oにあり、1秒ごとに次の規則に従ってこの四角推の5つの頂点のいずれかに移動する。 規則：点Pのあった頂点と1つの辺によって結ばれる頂点の1つに、等しい確率で移動する。 このとき、n秒後に点Pが頂点Oにある確率を求めよ。
2007-3
pを3以上の素数とする。4個の整数a, b, c, dが次の3条件 a+b+c+d=0, ad-bc+p=0, a≥b≥c≥d を満たすとき、a, b, c, dをpを用いて表せ。