mizuno
2008-2
正四面体ABCDを考える。点Pは時刻0では頂点Aに位置し、1秒ごとにある頂点から他の3頂点のいずれかに、等しい確率で動くとする。このとき、時刻0から時刻nまでの間に、4頂点A, B, C, Dのすべてに点Pが表れる確率を求めよ。ただしnは1以上の整数とする。
2008-1
直線y=px+qが関数y=logxのグラフと共有点を持たないためにpとqが満たすべき必要十分条件を求めよ。
2007-14
nを1以上の整数とするとき、次の2つの命題はそれぞれ正しいか。正しいときは証明し、正しくないときはその理由を述べよ。 命題p：あるnに対して、√nと√n+1]は共に有理数である。 命題q：すべてのnに対して、√n+1]-√nは無理数である。
2007-13
座標空間で点(3, 4, 0)を通りベクトルa→=(1, 1, 1)に平行な直線をl、点(2, -1, 0)を通りベクトルb→=(1, -2, 0)に平行な直線をmとする。点Pは直線l上を、点Qは直線m上をそれぞれ勝手に動くとき、線分PQの長さの最小値を求めよ。
2007-12
3次関数y=x³-2x²-x+2のグラフ上の点(1, 0)における接線をlとする。この3次関数のグラフと接線lで囲まれた部分をx軸の周りに回転して立体を作る。その立体の体積を求めよ。
2007-11
次の各問にそれぞれ答えよ。 (1)A=[ -1 2 -1 4 ], E=[ 0 1 1 0 ] とするとき、A6+2A4+2A³+2A²+2A+3Eを求めよ。 (2)四角形ABCDを底面とする四角推OABCDを考える。点Pは時刻0では頂点Oにあり、1秒ごとに次の規則に従ってこの四角推の5つの頂点のいずれかに移動する。 規則：点Pのあった頂点と1つの辺によって結ばれる頂点の1つに、等しい確率で移動する。 このとき、n秒後に点Pが頂点Oにある確率を求めよ。
2007-10
y=xe1-xとy=xのグラフで囲まれた部分をx軸の周りに回転してできる立体の体積を求めよ。
2007-9
-π/2<α<π/2とする。座標平面上で原点の周りにπ/3回転する一次変換をfとし、直線y=(tanα)xについて対称移動する一次変換をgとする。合成変換f o gがx軸について対称移動する一次変換と一致するとき、αの値を求めよ。
2007-8
∆ABCにおいて、∠Aの二等分線とこの三角形の外接円との交点でAと異なる点をA’とする。同様に∠B, ∠Cの二等分線とこの外接円との交点をそれぞれB’, C’ とする。このとき3直線AA’, BB’, CC’は一点Hで交わり、この点Hは三角形A’B’C’の垂心と一致することを証明せよ。
2007-7
次の各問にそれぞれ答えよ。 (1)A=[ -1 2 -1 4 ], E=[ 0 1 1 0 ] とするとき、A6+2A4+2A³+2A²+2A+3Eを求めよ。 (2)得点1, 2, …, n が等しい確率で得られるゲームを独立に3回くり返す。このとき、2回目の得点が1回目の得点以上であり、さらに3回目の得点が2回目の得点以上となる確率を求めよ。