2011-2

a,b,cを実数とし、Oを原点とする座標平面上において、行列\((matrix{2}{2}{a 1 b c})\)によって表される一次変換をTとする。Tが2つの条件
(i)点(1,2)を点(1,2)に移す
(ii)点(1,0)と点(0,1)がTによって点A,Bにそれぞれ移るとき、Δ OABの面積が 1/2 である
を満たすとき、a,b,cの値を求めよ。

(i)の条件から、\((matrix{2}{2}{a 1 b c})(matrix{2}{1}{1 2})=(matrix{2}{1}{1 2})\)となるので、
a+2=1, b+2c=2、よって、
a=-1, b=2-2c

(ii)の条件でA,Bの座標は、それぞれ
\((matrix{2}{2}{{-1} 1 {2-2c} c})(matrix{2}{1}{1 0})=(matrix{2}{1}{{-1} {2-2c}})\)
\((matrix{2}{2}{{-1} 1 {2-2c} c})(matrix{2}{1}{0 1})=(matrix{2}{1}{1 c})\)
ABの中点をMとすると、Mの座標は(0,1-c/2)である。Δ OAM, Δ OBMは、ともに底辺がOM、高さが1の三角形であるから、
Δ OABの面積が 1/2 である ⇄ OMの長さが 1/2
よって、1-c/2=1/2, 1-c/2=-1/2なので、
c=1,3
c=1のとき、b=0
c=3のとき、b=-4
よって答えは、(a,b,c)=(-1,0,1),(-1,-4,3)


行列の問題では有るが、成分計算すれば連立方程式の問題になる。易しい問題なので、確実に解けるようにしたい。

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