2011-1

(1)箱の中に、1から9までの番号を1つずつ書いた9枚のカードが入っている。ただし異なるカードには異なる番号が書かれているものとする。この箱から2枚のカードを同時に選び、小さいほうの数をXとする。これらのカードを箱に戻して、再び2枚のカードを同時に選び、小さいほうの数をYとする。X=Yである確率を求めよ。
(2)定積分\(int{0}{1/2}{(x+1)sqrt{1-2x^2} dx}\)を求めよ。

(1)9枚のカードから2枚を引く組み合わせは、9*8/2=36通りある。
X=1となるのは、1枚が1で、もう一枚が2〜9の8通りある。
同様に、X=2となるのは、1枚が2で、もう一枚が3〜9の7通りある。
以下、X=k(k=1,2, … 8)となるのは、1枚がkで、もう一枚がk+1〜9の9-k通りある。
したがって、X=kとなる確率は、\((9-k)/36\)である。
Yも同様で、Y=kとなる確率は、\((9-k)/36\)である。

\(sum{1}{8}{(9-k)^2/36^2}=1/36^2 sum{1}{8}{k^2}={1/36^2}*{1/6}*8*9*17=17/108\)

(2)\(int{0}{1/2}{x sqrt{1-2x^2} dx}= int{0}{1/2}{1/4(2x^2)prime sqrt{1-2x^2} dx}= delim{[}{(1/4)(-2/3)(1-2x^2)^(3/2)}{]} matrix{2}{1}{1/2 0}= 1/6-sqrt{2}/24\)
また、
\(int{0}{1/2}{sqrt{1-2x^2} dx}\)は、\(t=sqrt(2)x\) とおくと、 \(int{0}{1/sqrt{2}}{sqrt{1-t^2} 1/sqrt{2} dt}\) となり、
\(int{0}{1/sqrt{2}}{sqrt{1-t^2} dt}\) の面積は半径1の円の第一象限の部分の0から\(1/sqrt{2}\)までである。
この部分は、円の8分の1と、直角二等辺三角形(斜辺が1、残り2辺が\(1/sqrt{2}\))であるから、
\(pi/8 + 1/4\)である。
求める値は、
\(1/6-sqrt{2}/24 + 1/sqrt{2}(pi/8 + 1/4) = 1/6 + sqrt{2}/12+{sqrt{2}pi}/16\)


計算問題。計算を確実に行うようにしよう。(2)は置換して円の面積から求めると楽である。

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