空間内に原点Oを中心とし半径1の球面Sを考え、S上の2点をA(½, 0, ½√3), B(¼, ¼√3, ½√3)とする。z=½√3で与えられる平面でSを切った切り口の円において、AとBを結ぶ弧のうち短いほうの長さをl1とする。また3点O, A, Bを通る平面でSを切った切り口の円において、AとBを結ぶ弧のうち短いほうの長さをl2とする。このとき l1>l2 を証明せよ。
l1は、半径½の円の円周の1/6なので、l1=(1/6)π
l2は、半径1の円の円周の一部で、OAとOBのなす角をθとすると、l2=(1/180)πθ。
OA→·OB→=(½, 0, ½√3)·(¼, ¼√3, ½√3)=⅞ なので、
cosθ=⅞=0.875 となる。
cos30°=½√3<0.875 であり、cosは0°から90°の範囲で単調減少なので、
θ<30 となる。
よって、l2=(1/180)πθ<(30/180)π=l1となるので、題意は示された。
球面上の最短経路を求める問題。メルカトール図法の地図上で直線となる経路(z=½√3の切り口上)は最短経路では無いことは有名。解答は短いが、難問と思われる。理系乙2008-6では座標設定されていない状態で出題されており、受験生には厳しかったであろう。