定数aは実数であるとする。方程式(x²+ax+1)(3x²+ax-3)=0 を満たす実数xはいくつあるか。aの値によって分類せよ。
f(x)=x²+ax+1, g(x)=3x²+ax-3 と置く。
f(x)=0となるxとg(x)=0となるxが求めるxである。
ただし、f(x)=g(x)=0となる場合は、f(x)=0とg(x)=0とで重複してカウントされてしまうが1つとする。 …(a)
(i)f(x)=0
x²+ax+1=0
(x+½a)²-¼a²+1=0 より、
1-¼a²>0 すなわち -2<a<2 のとき、共有点無し
1-¼a²=0 すなわち a=±2 のとき、共有点1つ
1-¼a²<0 すなわち a<-2, 2<a のとき、共有点2つ
(ii)g(x)=0
3x²+ax-3=0
3{x-(1/6)a}²-(1/12)a²-3=0 より、
g(x)=0 を満たすxは常に2つ
ここで(a)の条件を調べる。
f(x)=g(x)となるのは、x²+ax+1=3x²+ax-3 より、x=±√2
x=√2となるのは、2(√2)²+√2]a-1=0 より、a=-(3/2)√2
x=-√2 となるのは、2(√2)²-√2]a-1=0 より、a=(3/2)√2
よって、a=±(3/2)√2 のときは、共通解が1つある。
これらをまとめると、
-2<a<2 のとき、2つ
a=±2, ±(3/2)√2 のとき、共有点3つ
a<-(3/2)√2, -(3/2)√2<a<-2, 2<a<(3/2)√2, (3/2)√2<a のとき、共有点4つ
f(x)=x²+ax+1, g(x)=3x²+ax-3 と置き、f(x)=0、g(x)=0のケースを考える。f(x)=g(x)=0となるxがダブって数えられることに注意する。解答では平方完成して定数項の符号を調べているが、判別式や解の公式等を記憶していればそれらを利用すれば良いであろう。
理系乙の問題と比較すると、方針が立て易いであろう。(理系乙の問題は絶対値付グラフを正面から扱うと非常に厄介。) f(x)=0、g(x)=0を共に満たす場合が重複してカウントされることに注意する。