AB=ACである二等辺三角形ABCを考える。辺ABの中点をMとし、辺ABを延長した直線上に点Nを、AN:NB=2:1となるようにとる。ただし点Nは辺AB上にないものとする。ことのき、∠BCM=∠BCNとなることを示せ。
点Bを通りACに平行な直線と、線分CMを延長した直線の交点をDとする。
図1 四角形ACBDは平行四辺形
このとき、∠MBD=∠MAC, ∠BDM=∠ACM, BM=AMより、
∆BDM≡∆ACM
よって、BD=AC …(a)
AN:NB=2:1より、BN=AB …(b)
与えられた条件よりAB=AC ..(c)
(a) (b) (c) より、BN=BD …(d)
またDB//ACより、 ∠DBC+∠ACB=180° …(e)
また∠ABC=∠ACB(∵AB=AC), …(f)
∠ABC+∠NBC=180° …(g)
(e) (f) (g) より、∠DBC=∠NBC …(h)
∆DBCと∆NBCは、辺BCを共有し、(d) (h) が成り立つので、∆DBC≡∆NBC
よって、∠BCDすなわち∠BCM=∠BCN
平面図形の問題。幾何的に解くのが手っ取り早いだろう。(おそらく解答速報ではこういう解法はしないであろうが)Nを辺BCで折り返した点Dがどんな点かを考えることで容易に解答できる。発想しずらい、と思うかもしれないが、証明したいのが∠BCM=∠BCNなのだから、辺BCで折り返してみる、という着想は決して難しいものでは無いはず。