0≤x<2πのとき、方程式2√2(sin³x+cos³x)+3sinxcosx=0を満たすxの個数を求めよ。
sin³x+cos³x=(sinx+cosx)(sin²x-sinxcosx+cos²x)=(sinx+cosx)(1-sinxcosx)
sinx+cosx=tと置く。(-√2≤t≤√2) …(*1)
t²=sin²x+2sinxcosx+cos²x=1+2sinxcosx より、
sinxcosx=½(t²-1) なので、
2√2(sin³x+cos³x)+3sinxcosx=2√2t{1-½(t²-1)}+3½(t²-1)
=-√2t³+(3/2)t²+3√2t-(3/2)=f(t)と置く。
f’(t)=-3√2t²+3t+3√2=-3(√2t²-t-√2)
f’(t)=0 となるのは、√2t²-t-√2=0となるときで、
√2t²-t-√2=(t-√2)(√2t+1) より、t=√2, -½√2
増減表を書くと、
となるので、-√2≤t≤√2 の範囲でf(t)=0となるtは1つである。
f(t)=0のとき、t≠±√2なので、tに対応するxは2つ存在する。よって答えは2個である。 …(*2)
三角関数と微分の融合問題。sinとcosについて対称形なので、sinx+cosx=tと置き換える。(*1)のtの範囲は、x²+y²=1とx+y=1が共有点を持つ範囲と考える。こう考えることで、(*2) の -√2<t<√2のときはtに対応するxが2個、t=±√2のときはtに対応するxが1個となることも容易に理解できよう。
一般に、対称形はx+y=tのように置き換えると見通しが良くなる。応用範囲が広いので、しっかりマスターしておきたい。sin, cos については、x²+y²=1 という捉え方ができることも覚えておくと良いだろう。
難易度は標準的と思われる。この問題を入試本番で解けるかどうか？が合否を分けるであろう。