実数a, b, cに対してf(x)=ax²+bx+cとする。このとき、∫-11 (1-x²){f’(x)}²dx≤6∫-11 {f(x)}²dxであることを示せ。
f’(x)=2ax+b より、
{f’(x)}²=(2ax+b)²=4a²x²+4abx+b²
(1-x²){f’(x)}²=-4a²x4-4abx³+(4a²-b²)x²+4abx+b² …(a)
{f(x)}²=(ax²+bx+c)²=a²x4+2abx³+(b²+2ac)x²+2bcx+c² …(b)
6{f(x)}²-(1-x²){f’(x)}²=g(x) と置く。
(a) (b) より、
g(x)=6{a²x4+2abx³+(b²+2ac)x²+2bcx+c²}
+4a²x4+4abx³-(4a²-b²)x²-4abx-b² (*1)
=10a²x4+16abx³+(7b²+12ac-4a²)x²+4b(3c-a)x+6c²-b²
G(x)=2a²x5+4abx4+(1/3)(7b²+12ac-4a²)x³+2b(3c-a)x²+(6c²-b²)x+C (Cは定数)
[G(x)]-11=4a²+(2/3)(7b²+12ac-4a²)+2(6c²-b²)
=(4/3)a²+(8/3)b²+12c²+8ac
=(4/3)(a+3c)²+(8/3)b²≥0
となり、問題文の左辺≤右辺となる。
積分の計算をひたすら行うだけの問題。とはいえ計算は結構面倒である。-1から1の範囲なので、偶関数の性質を利用すれば多少は楽になる。(解答では用いていない。) 計算ミスしないように、(*1)のようにxnの係数で揃えて縦に並べる等の工夫をしよう。
2008年度の文系向け問題は、計算量の多い問題が他にもあるので、速く確実に計算できる受験生に有利だったであろう。