正n角形とその外接円をあわせた図形をFとする。F上の点Pに対して、始点と終点がともにPであるような、図形Fの一筆がきの経路の数をN(P)で表す。正n角形の頂点をひとつとってAとし、a=N(A)とおく。また正n角形の辺をひとつとってその中点をBとし、b=N(B)とおく。このときaとbを求めよ。
注：一筆がきとは、図形を、かき始めから終わりまで、筆を紙からはなさず、また同じ線上を通らずにかくことである。
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2008-12
2008-11
0≤x<2πのとき、方程式2√2(sin³x+cos³x)+3sinxcosx=0を満たすxの個数を求めよ。
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2008-10
実数a, b, cに対してf(x)=ax²+bx+cとする。このとき、∫-11 (1-x²){f’(x)}²dx≤6∫-11 {f(x)}²dxであることを示せ。
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2008-9
空間内に原点Oを中心とし半径1の球面Sを考え、S上の2点をA(½, 0, ½√3), B(¼, ¼√3, ½√3)とする。z=½√3で与えられる平面でSを切った切り口の円において、AとBを結ぶ弧のうち短いほうの長さをl1とする。また3点O, A, Bを通る平面でSを切った切り口の円において、AとBを結ぶ弧のうち短いほうの長さをl2とする。このとき l1>l2 を証明せよ。
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2008-8
定数aは実数であるとする。方程式(x²+ax+1)(3x²+ax-3)=0 を満たす実数xはいくつあるか。aの値によって分類せよ。
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2008-7
AB=ACである二等辺三角形ABCを考える。辺ABの中点をMとし、辺ABを延長した直線上に点Nを、AN:NB=2:1となるようにとる。ただし点Nは辺AB上にないものとする。ことのき、∠BCM=∠BCNとなることを示せ。
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2008-6
地球上の北緯60°東経135°の地点をA、北緯60°東経75°の地点をBとする。AからBに向かう2種類の飛行経路R1, R2を考える。R1は西に向かって同一緯度で飛ぶ経路とする。R2は地球の大円に沿った経路のうち飛行距離の短い方とする。R1に比べてR2は飛行距離が3％以上短くなることを示せ。ただし地球は完全な球体であるとし、飛行機は高度0を飛ぶものとする。また必要があれば、次のページの三角関数表を用いよ。
注：大円とは、球を球の中心を通る平面で切ったとき、その切り口にできる円のことである。
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2008-5
次の式で与えられる底面の半径が2、高さが1の円柱Cを考える。C={(x, y, z)|x²+y²≤4, 0≤z≤1} xy平面上の直線y=1を含み、xy平面と45°の角をなす平面のうち、点(0, 2, 1)を通るものをHとする。円柱Cを平面Hで2つに分けるとき、点(0, 2, 0)を含む方の体積を求めよ。
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2008-4
定数aは実数であるとする。関数y=|x²-2| とy=|2x²+ax-1| のグラフの共有点はいくつあるか。aの値によって分類せよ。
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2008-3
空間の1点Oを通る4直線で、どの3直線も同一平面上にないようなものを考える。このとき、4直線のいずれともO以外の点で交わる平面で、4つの交点が平行四辺形の頂点になるようなものが存在することを示せ。
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